В составе ЕГЭ по математике имеется целый ряд задач на определение площади поверхности и объема составных многогранников. Это, наверное, одни из самых простых задач по стереометрии. НО! Имеется нюанс. Не смотря на то, что сами вычисления просты, ошибку при решении такой задачи допустить очень легко.
В чём же дело? Далеко не все обладают хорошим пространственным мышлением, чтобы сразу увидеть все грани и параллелепипеды из которых «состоят» многогранники. Даже если вы умеете делать это очень хорошо, можете мысленно сделать такую разбивку, всё-таки следует не торопиться и воспользоваться рекомендациями из этой статьи.
Кстати, пока работал над данным материалом, нашёл ошибку в одной из задач на сайте. Нужна внимательность и ещё раз внимательность, вот так.
Итак, если стоит вопрос о площади поверхности, то на листе в клетку постройте все грани многогранника, обозначьте размеры. Далее внимательно вычисляйте сумму площадей всех полученных граней. Если будете предельно внимательны при построении и вычислении, то ошибка будет исключена.
Используем оговоренный способ. Он нагляден. На листе в клетку строим все элементы (грани) в масштабе. Если длины рёбер будут большими, то просто подпишите их.
Ответ: 72
Решите самостоятельно:
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ещё задачи , . В них приведены решения другим способом (без построения), постарайтесь разобраться — что откуда взялось. Также решите уже представленным способом.
* * *
Если требуется найти объём составного многогранника. Разбиваем многогранник на составляющие его параллелепипеды, записываем внимательно длины их рёбер и вычисляем.
Объем многогранника, изображенного на рисунке равен сумме объёмов двух многогранников с рёбрами 6,2,4 и 4,2,2
Ответ: 64
Решите самостоятельно:
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).
Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Многоугольники относятся к плоским геометрическим фигурам. К объемным (трехмерным) геометрическим фигурам относятся .
Определение. Многогранник - это геометрическое пространственное тело, ограниченное со всех сторон конечным числом плоских многоугольников (граней).
Прямоугольный параллелепипед является . Простейший прямоугольный параллелепипед - это куб. У него все грани равны
У прямоугольного параллелепипеда каждая грань - прямоугольник, который имеет с соседней гранью общую сторону и две общие вершины.
У параллелепипеда 8 вершин, 4 боковых прямоугольника и 2 прямоугольника в основаниях. У куба все б граней - равные квадраты. У прямоугольного параллелепипеда боковые фигуры и основания - прямоугольники. Эти прямоугольники попарно равны (равны прямоугольники оснований и две пары противолежащих прямоугольников, составляющих боковые грани). Следовательно, грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками трех типов, различающихся размерами.
Три прямоугольника с разными размерами имеют
одну общую точку — вершину параллелепипеда.
У каждой вершины параллелепипед имеет общую точку для трех отрезков, которые называются измерениями параллелепипеда (длина, ширина и высота). Три измерения на верхнем рисунке параллелепипеда выделены жирной линией.
Объем - это то количество жидкости или сыпучего материала, которое можно поместить внутрь фигуры (между граничными плоскостями).
Объем — это одна из характеристик трехмерных геометрических фигур.
Объем обозначается большой латинской буквой V («вэ»). Величины объема взаимосвязаны (одну кубическую единицу объема можно заменить ругой).
Правило. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.
Единицами измерения объема служат:
- а) стандартные единицы длины в кубе:
1 см 3 = 1 000 мм 31 дм 3 = 1 000 см 3 = 1 000 000 мм 3
1 м 3 = 1 000 дм 3 = 1 000 000 см 3 — 1 000 000 000 мм 31 км 3 — 1 000 000 000 м 3
- б) специальная единица объема (литр):
1 л = 1 дм 3 = 1 000 см 3 .
Формула для расчета объема прямоугольного параллелепипеда:
где а - длина, Ь - ширина, с — высота.
Так как у куба все измерения равны (а = Ь = с), то формула для вычисления объема куба V = а 3 .
Вычислить объем прямоугольного параллелепипеда длиной 6 м, шириной 4 м и высотой 8 м.
Решение. Так как длина, ширина и высота измеряются одной и той же единицей длины (м), то подставим их в формулу V=а*Ь*с и вычислим объем:
V = 6 * 4 * 8 = 192 (м 3)
Ответ: 192 м 3 .
Вычислите объем куба со стороной основания 10 см.
Решение. Подставим численное значение стороны куба в формулу вычисления объема V=а 3 и вычислим:
V = 10 * 10 * 10 = 10 3 = 1 000 (см 3) — 1 л.
Ответ: 1 000 см 3 , или 1 л.
Прежде всего определимся, что же такое многогранник. Это трехмерная геометрическая фигура, грани которой представлены в виде плоских многоугольников. Единой формулы поиска объема многогранника не существует, так как многогранники бывают разной формы. Для того чтобы найти объем сложного многогранника, его условно делят на несколько простых, таких как параллелепипед, призма, пирамида, а затем складывают объемы простых многогранников и получают в результате искомый объем фигуры.
Как найти объем многогранника – параллелепипеда
Для начала найдем площадь прямоугольного параллелепипеда. У такой геометрической фигуры все грани представлены в виде плоских прямоугольных фигур.
- Самый простой прямоугольный параллелепипед – это куб. Все ребра куба равны между собой. Всего у такого параллелепипеда 6 граней, то есть 6 одинаковых квадратов. Объем такой фигуры рассчитывается таким образом:
где a – длина любого ребра куба.
- Объем прямоугольного параллелепипеда, стороны которого имеют различные измерения, рассчитывается по следующей формуле:
где a, b и с – длины ребер.
Как найти объем многогранника – наклонного параллелепипеда
У наклонного параллелепипеда так же 6 граней, 2 их них – основания фигуры, еще 4 – боковые грани. Наклонный параллелепипед отличается от прямого тем, что его боковые грани по отношению к основанию расположены не под прямым углом. Объем такой фигуры рассчитывается как произведение между площадью основания и высотой:
где S – это площадь четырехугольника, лежащего в основании, h – высота искомой фигуры.
Как найти объем многогранника – призмы
Объемная геометрическая фигура, основание которой представлено многоугольником любой формы, а боковые грани – параллелограммами, имеющими общие стороны с основанием – называется призмой. У призмы два основания, а боковых граней столько, сколько сторон у фигуры, являющейся основанием.
Для нахождения объема любой призмы, как прямой, так и наклонной, умножают площадь основания на высоту:
где S – площадь многоугольника в основании фигуры, а h – высота призмы.
Как найти объем многогранника – пирамиды
Если в основании фигуры расположен многоугольник, а боковые грани представлены в виде треугольников, смыкающихся в общей вершине, то такую фигуру называют пирамидой. Она отличается от вышеперечисленных фигур тем, что у нее имеется только одно основание, кроме этого, у нее есть вершина. Чтобы найти объем пирамиды, ее основание умножают на высоту, и делят результат на 3.